TEORÍA DEL CAOS
Introducción
La teoría del caos (TC) nace como una teoría disruptiva a la física tradicional, durante muchos años el mundo se regía por las leyes de la física newtoniana, la premisa principal se basaba en que si se conoce el estado actual de un objeto, se podrá predecir con facilidad su comportamiento en el futuro. La TC llega para romper estos paradigmas tradicionales ya que propone que cualquier alteración en las condiciones iniciales del sistema puede alterar notablemente los resultados.
La teoría del caos es un campo que explora cómo sistemas complejos y dinámicos pueden exhibir comportamientos aparentemente aleatorios, aunque sigan leyes deterministas. A pesar de que estos sistemas están gobernados por ecuaciones matemáticas precisas, pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a resultados muy diferentes, un fenómeno conocido como “efecto mariposa“.
Concepto
Según el diccionario el caos es un estado de confusión y desorden, si bien esto puede dar una pista acerca de la teoría del caos es una definición muy general, por fortuna la RAE nos plantea una definición propia del contexto físico y matemático, indica que el caos es un comportamiento aparentemente errático e impredecible de algunos sistemas dinámicos deterministas con gran sensibilidad a las condiciones iniciales.
Ahora bien los sistemas dinámicos deterministas son modelos matemáticos que no contemplan una variabilidad o el azar, es decir que sus condiciones iniciales generan los mismos resultados, se puede considerar como un modelo de mucha exactitud y una poca o nula incertidumbre.
Estos sistemas deterministas por muchos años fueron la base de las ciencias para explicar el mundo, sin embargo a finales del siglo XIX Henri Poincaré descubrió que algunos sistemas mecánicos en donde su evolución estaba determinada por ecuaciones diferenciales tenían una tendencia a la irregularidad “caos” es así como Poincaré hace los primeros acercamientos con la teoría del caos pero fue hasta 1963 que el meteorólogo Edward Lorenz plantea la teoría del caos con el descubrimiento de fenómenos dinámicos no lineales en donde su comportamiento parecía estar dictado de forma aleatoria, aún cuando sus bases estaban constituidas por leyes precisas. Durante la década de los 60s se lograron grandes avances en esta teoría gracias al desarrollo de la computación que permitió hacer mejores cálculos.
Los sistemas caóticos presentan las siguientes características:
Dependencia sensitiva de las condiciones iniciales: como su nombre lo dice tiene una dependencia altamente sensible que cualquier alteración de las condiciones iniciales por pequeña que sea generará grandes cambios en los resultados futuros lo que hace que sea muy difícil predecir su comportamiento.
No linealidad: No existe una proporcionalidad entre las causas y los efectos que produce el sistema.
Entropía positiva: La entropía dicta el desorden del sistema y que sea positiva refleja la tendencia que tiene el sistema hacia el desorden.
Atractor extraño: Hace que se pueda determinar el caos en un sistema, busca la estabilidad en el proceso aunque no hace lo mismo dos veces, puede llegar a tener un patrón pero sigue siendo impredecible y difícil de observar.
Henri Poincaré
Jules Henri Poincaré nacido en Francia el 29 de abril de 1854 y fallecido en la ciudad de París el 17 de julio de 1912. Fue un distinguido matemático francés que dictó el inicio del camino para la teoría del caos, si bien Poincaré es reconocido principalmente por ser uno de los fundadores de la teoría de sistemas dinámicos sus ideas innovadoras y sus descubrimientos matemáticos sentaron las bases para el estudio de sistemas dinámicos no lineales y fenómenos caóticos.
Poincaré se basó en el esquema Laplaceano que plantea que si se conoce con exactitud las condiciones iniciales del universo y el comportamiento de la evolución, se podría predecir el estado del universo en cualquier tiempo, sin embargo no se conoce con exactitud las condiciones iniciales del universo lo que conlleva que cualquier determinación de las condiciones iniciales del universo sería una aproximación así pues los resultados que se obtendrían serían una aproximación y como parte la teoría del caos las aproximaciones en las condiciones iniciales son modificaciones que por pequeñas que sean alteran notablemente los resultados, así que no se puede realizar predicciones.
Poincaré fue pionero en el análisis de sistemas dinámicos complejos. Su investigación sobre los sistemas de tres cuerpos y su capacidad para predecir el movimiento de planetas y otros cuerpos celestes mostró que incluso los sistemas deterministas pueden ser extremadamente sensibles a las condiciones iniciales.
Aunque Poincaré no usó el término “efecto mariposa”, sus descubrimientos indicaron que sistemas que parecen ordenados pueden mostrar un comportamiento altamente sensible a las condiciones iniciales, lo cual es una característica central del caos. Su trabajo en la dinámica de sistemas no lineales mostró que pequeñas perturbaciones pueden llevar a grandes cambios en el sistema, un concepto clave en la teoría del caos moderna.
En resumen, el trabajo de Poincaré en sistemas dinámicos y su descubrimiento de la complejidad inherente a estos sistemas fueron fundamentales para el desarrollo de la teoría del caos, aunque esta teoría se formalizó y desarrolló más completamente en el siglo XX con el trabajo de matemáticos y científicos como Edward Lorenz, Mitchell Feigenbaum y Benoît B. Mandelbrot.
Edward Lorenz
Fue un meteorólogo y matemático, nacido en Estados Unidos (1917-2018) Estudió matemáticas en Darmouth College de New y en la Harvard university en cambridge, además hizo parte de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos entre 1942 a 1946 ahí se desempeña como meteorólogo y años después se doctoró en el Massachusetts Institute of Technology. Fue fundamental para el desarrollo de la teoría del caos. Su descubrimiento del efecto mariposa y su modelo de Lorenz ayudaron a establecer el campo de la teoría del caos y a demostrar que sistemas aparentemente simples pueden tener comportamientos extremadamente complejos y difíciles de predecir.
En 1961 Lorenz trabajaba en un modelo matemático que le permitiera pronosticar el estado del tiempo, se dice que contaba con una computadora Royal McBee LGP-300, seguramente cualquier cualquier celular o reloj inteligente de hoy en día es capaz de procesar más información y mucho más rápido que el computador de Lorenz, sin embargo esto no fue un impedimento para que pudiera detectar un fenómeno que cambiaría el estudio de la física y las matemáticas.
Lorenz introducía unos datos en su computadora y esta le arrojaba un gráfico que modelaba como iba a ser el estado del tiempo, sin embargo Lorenz decidió verificar los resultados así que ingreso los números manualmente, cuando comparo los resultados de los gráficos modelados, se dio cuenta que eran bastante diferentes lo cual llamó la atención de Lorenz, se percato de que las graficas al principio eran similares, sin embargo a medida que avanzaba en la gráfica la diferencia entre los datos cada vez se hacía mayor, Lorenz revisó los datos que había ingresado y se percató que su número tenía 3 decimales menos que el que usaba la computadora así pues por más pequeña que fuera la variación está generaba grandes cambios en los resultados. Lorenz dedujo que esto no era un caso en particular sino que existían sistemas en el que pequeñas diferencias generan cambios gigantescos.
En el año de 1962, Edward N. Lorenz escribió el artículo “Deterministic Nonperiodic Flow” para la revista Journal of the Atmospheric Sciences. Gracias a esto fue que Lorenz utilizó el término “efecto mariposa” afirmando que el movimiento de las alas de una mariposa en Brasil puede generar un tornado en Japón, está metáfora no quiere decir que un pequeño movimiento sea amplificado a gran escala, lo que pretende dar a entender es que una pequeña variación inicial al ser iterada puede tener grandes consecuencias en los resultados.
Aunque Lorenz no inventó la teoría del caos, su trabajo popularizó el concepto y lo introdujo en la comunidad científica. Su descubrimiento y la visualización del comportamiento caótico ayudaron a que el concepto de caos y la idea de que los sistemas deterministas pueden ser impredecibles fueran aceptados y comprendidos más ampliamente.
El trabajo de Lorenz tuvo un profundo impacto no solo en la meteorología, donde mostró por primera vez las limitaciones de las predicciones a largo plazo debido al caos, sino también en campos como la física, la biología y la economía. Su descubrimiento sentó las bases para el estudio de la dinámica de sistemas complejos en una amplia variedad de disciplinas.
El Modelo de Lorenz:
Lorenz desarrolló un modelo simplificado de la circulación atmosférica, conocido como el modelo de Lorenz, que se basa en un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales. Este modelo, que incluye solo tres ecuaciones, se convirtió en uno de los ejemplos más icónicos de sistemas caóticos. Las trayectorias de las soluciones en este modelo forman lo que se llama un “atractor extraño”, una característica central de los sistemas caóticos.
Los valores σ =10, β=8/3 y ρ=28 Valores asignados por Lorenz cobran gran relevancia de los movimientos atmosféricos.
El matemático Varona (2017) realizó un modelo simplificado en donde se pudo evidenciar que si se evolucionan las componentes x(t), y(t) y z(t) las solución tiene un comportamiento dictado por el “azar”.
Con los mismos parámetros σ, β y ρ que usó Lorenz, y partiendo de las condiciones iniciales x(0)=y(0)=z(0)=1, mostramos la trayectoria en el espacio que describe la curva (x(t),y(t),z(t)) cuando t varía entre 1 y 30
Cabe aclarar que el resultado del atractor de Lorenz tenga una forma similar al de las alas de una mariposa es mera coincidencia.
Créditos:
Autor: Juan Pablo Molina Herrera
Editor: Carlos Iván Pinzón Romero
Código: UCPSG4-2
Fuentes:
REAL ACADEMIA ESPAÑOLA: Diccionario de la lengua española, 23.ª ed., [versión 23.7 en línea]. <https://dle.rae.es> [19/08/2024].
González, M. J. P. (2009). La teoría del caos en las organizaciones. Cuadernos unimetanos, (18), 29-33.
Cazau, P. (1995). La teoría del caos. URL: http://galeon. com/pcazau/artfis_caos. htm.
Ramírez Tachiquín, M. P., (2010). Teoría del Caos: una visión de su historia y actualidad. Revista del Centro de Investigación. Universidad La Salle, 9(34), 41-47.
Varona, J. L. (2020, 23 mayo). Edward Lorenz (1917-2008): con él empezó el caos. Blog del Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla.
