{"id":6320,"date":"2021-02-14T15:59:37","date_gmt":"2021-02-14T20:59:37","guid":{"rendered":"https:\/\/niixer.com\/?p=6320"},"modified":"2021-02-14T16:14:57","modified_gmt":"2021-02-14T21:14:57","slug":"que-es-la-dimension-fractal","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/niixer.com\/index.php\/2021\/02\/14\/que-es-la-dimension-fractal\/","title":{"rendered":"\u00bfQu\u00e9 es la dimensi\u00f3n fractal?"},"content":{"rendered":"\n

La dimensi\u00f3n fractal es un espacio, el cual si se compara a la dimensi\u00f3n topol\u00f3gica y resulta ser mayor, el s\u00f3lido o patr\u00f3n se define como un fractal.<\/p>\n\n\n\n

La dimensi\u00f3n fractal puede abstraerse de varias formas, dos de las m\u00e1s simples e importantes para entenderla son la dimensi\u00f3n de autosemejanza o autosimilaridad<\/strong> y el recuento o conteo de cajas<\/strong>; consisten en determinar el valor de la dimensi\u00f3n del fractal sin proporcionar un papel relevante a la escala, esto brinda mayor independencia a la hora de realizar los c\u00e1lculos de la dimensi\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

Dimensi\u00f3n de autosemejanza o autosimilaridad<\/h3>\n\n\n\n

Esta dimensi\u00f3n define a los fractales como una composici\u00f3n de copias exactas de s\u00ed mismos cada vez a una menor escala, dos ejemplos cl\u00e1sicos son la Curva o copo de Von Koch<\/em> y  el Tri\u00e1ngulo de Sierpinski.<\/em><\/p>\n\n\n\n




<\/td>		<\/td><\/tr>
Curva o copo de Von Koch<\/strong><\/td>Tri\u00e1ngulo de Sierpinski<\/strong><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

C\u00e1lculo: <\/strong><\/p>\n\n\n\n

Variable<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Nombre<\/strong><\/td>Representaci\u00f3n<\/strong><\/td><\/tr>
Escala<\/td>\u03b5<\/td><\/tr>
Repeticiones<\/td>N<\/td><\/tr>
dimensi\u00f3n<\/td>d<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Siguiendo la definici\u00f3n de la geometr\u00eda convencional que define la dimensi\u00f3n de los objetos geom\u00e9tricos como<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Realizando un despeje de la ecuaci\u00f3n (1)<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Con la ecuaci\u00f3n (2) se puede calcular la dimensi\u00f3n de un fractal autosemejante o automilar.<\/p>\n\n\n\n

\n

Recuento o conteo de cajas<\/h3>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

En caso de que el objeto geom\u00e9trico o fractal del que se quiere hallar la dimensi\u00f3n no sea autosimilar <\/em>o autosemejante<\/em>, se realiza una visi\u00f3n m\u00e1s general en el espacio. Se realiza una abstracci\u00f3n de una figura geom\u00e9trica con una dimensi\u00f3n topol\u00f3gica conocida como la l\u00ednea, el cuadrado o el cubo cuyas dimensiones son 1, 2 y 3 respectivamente, el criterio para seleccionar la figura es la que m\u00e1s se asemeje al fractal; luego se superpone la figura y se cuenta las unidades repetidas sobre los objetos geom\u00e9tricos que pasen por la l\u00ednea.<\/p>\n\n\n\n

El recuento de cajas es un ejemplo de colocar una regla y revisar cu\u00e1ntos objetos se repiten.<\/p>\n\n\n\n

Un ejemplo de un fractal que no es autosimilar <\/em>o autosemejante<\/em>, es el conjunto de Cantor.<\/em><\/p>\n\n\n\n

\"\"
Conjunto de Cantor<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

C\u00e1lculo:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Variable<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Nombre<\/strong><\/td>Representaci\u00f3n<\/strong><\/td><\/tr>
Longitud<\/td>L<\/td><\/tr>
N\u00famero de segmentos<\/td>N(\u03b5)<\/td><\/tr>
Longitud de segmento<\/td>\u03b5<\/td><\/tr>
\u00c1rea geom\u00e9trica<\/td><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

La representaci\u00f3n gr\u00e1fica para el c\u00e1lculo de la dimensi\u00f3n fractal por conteo de cajas es:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Para medir la longitud L se deben contar el n\u00famero de segmentos N(\u03b5), los cuales poseen una longitud \u03b5. El n\u00famero de repeticiones es representado en la siguiente ecuaci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Nota: <\/strong>El exponente representa la dimensi\u00f3n topol\u00f3gica de la l\u00ednea.<\/p>\n\n\n\n

Para medir el \u00e1rea de una superficie bidimensional, se realiza la representaci\u00f3n anterior en los ejes x y y del plano cartesiano<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

En general, para un espacio de dimensi\u00f3n d, se dice que<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Con este an\u00e1lisi se realiza el despeje a la ecuaci\u00f3n (4)<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Como un fractal no posee un \u00e1rea definida, se realiza una aproximaci\u00f3n realizando el l\u00edmite de tendiendo a cero (para hacer que el \u00e1rea sea lo m\u00e1s m\u00ednima posible).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Con la ecuaci\u00f3n (5) se puede calcular la dimensi\u00f3n de cualquier fractal, pero en caso de que el fractal sea auto semejante es recomendable usar la ecuaci\u00f3n (2), ya que en cierto punto se vuelve complejo definir cu\u00e1ntos segmentos son los que colindan con la figura seleccionada, ya que son sim\u00e9tricos y por lo tanto pueden existir secciones en blanco o \u201cvac\u00edas\u201d.<\/p>\n\n\n\n

Autor: <\/strong>Juli\u00e1n Andr\u00e9s Guerrero Topa<\/p>\n\n\n\n

Editor: <\/strong>Carlos Pinz\u00f3n<\/p>\n\n\n\n

C\u00f3digo: <\/strong>UCCG-8<\/p>\n\n\n\n

Universidad: <\/strong>Universidad Central<\/p>\n\n\n\n

Fuentes<\/strong><\/p>\n\n\n\n

UPM (Universidad Polit\u00e9cnica de Madrid). (07 de Mayo de 2018). MOOC Caos 5.2: Dimensi\u00f3n fractal. [Video]. Youtube. https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=-36sHrtrqKw<\/a><\/pre>\n\n\n\n
Jos\u00e9 Ignacio Argote. (06 de abril de 2013). Dimensi\u00f3n fractal. [P\u00e1gina web]. Mundo fractal. http:\/\/www.asociacionceat.org\/aw\/2\/dimension_fractal.htm<\/a><\/pre>\n\n\n\n
Jos\u00e9 Ignacio Argote. (06 de abril de 2013). Objetos fractales. [P\u00e1gina web].  Mundo fractal. http:\/\/www.asociacionceat.org\/aw\/2\/objetos_fractales.htm<\/a><\/pre>\n\n\n\n
An\u00f3nimo. (29 de septiembre de 2018). El conjunto de Cantor. [blog web]. matemelga. https:\/\/matemelga.wordpress.com\/2018\/09\/29\/el-conjunto-de-cantor\/<\/a><\/pre>\n\n\n\n
Barbara A Lane.  https:\/\/pixabay.com\/es\/users\/barbaraalane-756613\/<\/a><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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