{"id":54023,"date":"2024-08-26T23:45:32","date_gmt":"2024-08-27T04:45:32","guid":{"rendered":"https:\/\/niixer.com\/?p=54023"},"modified":"2024-08-29T21:14:58","modified_gmt":"2024-08-30T02:14:58","slug":"teoria-del-caos-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/niixer.com\/index.php\/2024\/08\/26\/teoria-del-caos-2\/","title":{"rendered":"TEOR\u00cdA DEL CAOS"},"content":{"rendered":"\n

Introducci\u00f3n<\/em><\/strong><\/h3>\n\n\n\n

La teor\u00eda del caos (TC) <\/a>nace como una teor\u00eda disruptiva a la f\u00edsica tradicional, durante muchos a\u00f1os el mundo se reg\u00eda por las leyes de la f\u00edsica newtoniana, la premisa principal se basaba en que si se conoce el estado actual de un objeto, se podr\u00e1 predecir con facilidad su comportamiento en el futuro. La TC llega para romper estos paradigmas tradicionales ya que propone que cualquier alteraci\u00f3n en las condiciones iniciales del sistema puede alterar notablemente los resultados.<\/p>\n\n\n\n

La teor\u00eda del caos es un campo que explora c\u00f3mo sistemas complejos y din\u00e1micos<\/a> pueden exhibir comportamientos aparentemente aleatorios, aunque sigan leyes deterministas. A pesar de que estos sistemas est\u00e1n gobernados por ecuaciones matem\u00e1ticas precisas, peque\u00f1as variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a resultados muy diferentes, un fen\u00f3meno conocido como “efecto mariposa<\/a>“.
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Concepto<\/em><\/strong><\/h3>\n\n\n\n

Seg\u00fan el diccionario el caos <\/a>es un estado de confusi\u00f3n y desorden, si bien esto puede dar una pista acerca de la teor\u00eda del caos es una definici\u00f3n muy general, por fortuna la RAE nos plantea una definici\u00f3n propia del contexto f\u00edsico y matem\u00e1tico, indica que el caos es un comportamiento aparentemente err\u00e1tico e impredecible de algunos sistemas din\u00e1micos deterministas con gran sensibilidad a las condiciones iniciales.<\/p>\n\n\n\n

Ahora bien los sistemas din\u00e1micos deterministas<\/a> son modelos matem\u00e1ticos que no contemplan una variabilidad o el azar, es decir que sus condiciones iniciales generan los mismos resultados, se puede considerar como un modelo de mucha exactitud y una poca o nula incertidumbre. <\/p>\n\n\n\n

Estos sistemas deterministas por muchos a\u00f1os fueron la base de las ciencias para explicar el mundo, sin embargo a finales del siglo XIX Henri Poincar\u00e9 descubri\u00f3 que algunos sistemas mec\u00e1nicos\u00a0 en donde su evoluci\u00f3n estaba determinada por ecuaciones diferenciales ten\u00edan una tendencia a la irregularidad \u201ccaos\u201d es as\u00ed como Poincar\u00e9 hace los primeros acercamientos con la teor\u00eda del caos pero fue hasta 1963 que el meteor\u00f3logo Edward Lorenz plantea la teor\u00eda del caos con el descubrimiento de fen\u00f3menos din\u00e1micos no lineales en donde su comportamiento parec\u00eda estar dictado de forma aleatoria, a\u00fan cuando sus bases estaban constituidas por leyes precisas. Durante la d\u00e9cada de los 60s se lograron grandes avances en esta teor\u00eda gracias al desarrollo de la computaci\u00f3n que permiti\u00f3 hacer mejores c\u00e1lculos.<\/p>\n\n\n\n

Los sistemas ca\u00f3ticos<\/a> presentan las siguientes caracter\u00edsticas:<\/p>\n\n\n\n

Dependencia sensitiva de las condiciones iniciales: como su nombre lo dice tiene una dependencia altamente sensible que cualquier alteraci\u00f3n de las condiciones iniciales por peque\u00f1a que sea generar\u00e1 grandes cambios en los resultados futuros lo que hace que sea muy dif\u00edcil predecir su comportamiento. <\/p>\n\n\n\n

No linealidad: No existe una proporcionalidad entre las causas y los efectos que produce el sistema.<\/p>\n\n\n\n

Entrop\u00eda positiva: La entrop\u00eda dicta el desorden del sistema y que sea positiva refleja la tendencia que tiene el sistema hacia el desorden. <\/p>\n\n\n\n

Atractor extra\u00f1o: Hace que se pueda determinar el caos en un sistema, busca la estabilidad en el proceso aunque no hace lo mismo dos veces, puede llegar a tener un patr\u00f3n pero sigue siendo impredecible y dif\u00edcil de observar. <\/p>\n\n\n\n

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Henri Poincar\u00e9<\/em><\/strong><\/h3>\n\n\n\n

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Jules Henri Poincar\u00e9 nacido en Francia el 29 de abril de 1854 y fallecido en la ciudad de Par\u00eds el 17 de julio de 1912. Fue un distinguido matem\u00e1tico franc\u00e9s que dict\u00f3 el inicio del camino para la teor\u00eda del caos, si bien Poincar\u00e9 es reconocido principalmente por ser uno de los fundadores de la teor\u00eda de sistemas din\u00e1micos sus ideas innovadoras y sus descubrimientos matem\u00e1ticos sentaron las bases para el estudio de sistemas din\u00e1micos no lineales y fen\u00f3menos ca\u00f3ticos. <\/p>\n\n\n\n

Poincar\u00e9 se bas\u00f3 en el esquema Laplaceano que plantea que si se conoce con exactitud las condiciones iniciales del universo y el comportamiento de la evoluci\u00f3n, se podr\u00eda predecir el estado del universo en cualquier tiempo, sin embargo no se conoce con exactitud las condiciones iniciales del universo lo que conlleva que cualquier determinaci\u00f3n de las condiciones iniciales del universo ser\u00eda una aproximaci\u00f3n as\u00ed pues los resultados que se obtendr\u00edan ser\u00edan una aproximaci\u00f3n y como parte la teor\u00eda del caos las aproximaciones en las condiciones iniciales son modificaciones que por peque\u00f1as que sean alteran notablemente los resultados, as\u00ed que no se puede realizar predicciones.
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Poincar\u00e9 fue pionero en el an\u00e1lisis de sistemas din\u00e1micos complejos. Su investigaci\u00f3n sobre los sistemas de tres cuerpos y su capacidad para predecir el movimiento de planetas y otros cuerpos celestes mostr\u00f3 que incluso los sistemas deterministas pueden ser extremadamente sensibles a las condiciones iniciales.<\/p>\n\n\n\n

Aunque Poincar\u00e9 no us\u00f3 el t\u00e9rmino “efecto mariposa”, sus descubrimientos indicaron que sistemas que parecen ordenados pueden mostrar un comportamiento altamente sensible a las condiciones iniciales, lo cual es una caracter\u00edstica central del caos. Su trabajo en la din\u00e1mica de sistemas no lineales mostr\u00f3 que peque\u00f1as perturbaciones pueden llevar a grandes cambios en el sistema, un concepto clave en la teor\u00eda del caos moderna.
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En resumen, el trabajo de Poincar\u00e9 en sistemas din\u00e1micos y su descubrimiento de la complejidad inherente a estos sistemas fueron fundamentales para el desarrollo de la teor\u00eda del caos, aunque esta teor\u00eda se formaliz\u00f3 y desarroll\u00f3 m\u00e1s completamente en el siglo XX con el trabajo de matem\u00e1ticos y cient\u00edficos como Edward Lorenz, Mitchell Feigenbaum<\/a> y Beno\u00eet B. Mandelbrot.<\/p>\n\n\n\n

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Edward Lorenz<\/em><\/strong><\/h3>\n\n\n\n

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Fue un meteor\u00f3logo y matem\u00e1tico, nacido en Estados Unidos (1917-2018) Estudi\u00f3 matem\u00e1ticas <\/a>en Darmouth College de New y en la Harvard university en cambridge, adem\u00e1s hizo parte de la Fuerza A\u00e9rea de los Estados Unidos entre 1942 a 1946 ah\u00ed se desempe\u00f1a como meteor\u00f3logo y a\u00f1os despu\u00e9s se doctor\u00f3 en el Massachusetts Institute of Technology. Fue fundamental para el desarrollo de la teor\u00eda del caos. Su descubrimiento del efecto mariposa y su modelo de Lorenz ayudaron a establecer el campo de la teor\u00eda del caos y a demostrar que sistemas aparentemente simples pueden tener comportamientos extremadamente complejos y dif\u00edciles de predecir.<\/p>\n\n\n\n

En 1961 Lorenz trabajaba en un modelo matem\u00e1tico que le permitiera pronosticar el estado del tiempo, se dice que contaba con una computadora Royal McBee LGP-300, seguramente cualquier cualquier celular o reloj inteligente de hoy en d\u00eda es capaz de procesar m\u00e1s informaci\u00f3n y mucho m\u00e1s r\u00e1pido que el computador de Lorenz, sin embargo esto no fue un impedimento para que pudiera detectar un fen\u00f3meno que cambiar\u00eda el estudio de la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. <\/p>\n\n\n\n

Lorenz introduc\u00eda unos datos en su computadora <\/a>y esta le arrojaba un gr\u00e1fico que modelaba como iba a ser el estado del tiempo, sin embargo Lorenz decidi\u00f3 verificar los resultados as\u00ed que ingreso los n\u00fameros manualmente, cuando comparo los resultados de los gr\u00e1ficos modelados, se dio cuenta que eran bastante diferentes lo cual llam\u00f3 la atenci\u00f3n de Lorenz, se percato de que las graficas al principio eran similares, sin embargo a medida que avanzaba en la gr\u00e1fica la diferencia entre los datos cada vez se hac\u00eda mayor, Lorenz revis\u00f3 los datos que hab\u00eda ingresado y se percat\u00f3 que su n\u00famero ten\u00eda 3 decimales menos que el que usaba la computadora as\u00ed pues por m\u00e1s peque\u00f1a que fuera la variaci\u00f3n est\u00e1 generaba grandes cambios en los resultados. Lorenz dedujo que esto no era un caso en particular sino que exist\u00edan sistemas en el que peque\u00f1as diferencias generan cambios gigantescos.<\/p>\n\n\n\n

En el a\u00f1o de 1962, Edward N. Lorenz escribi\u00f3 el art\u00edculo \u201cDeterministic Nonperiodic Flow\u201d para la revista Journal of the Atmospheric Sciences. Gracias a esto fue que Lorenz utiliz\u00f3 el t\u00e9rmino \u201cefecto mariposa\u201d afirmando que el movimiento de las alas de una mariposa en Brasil puede generar un tornado en Jap\u00f3n, est\u00e1 met\u00e1fora no quiere decir que un peque\u00f1o movimiento sea amplificado a gran escala, lo que pretende dar a entender es que una peque\u00f1a variaci\u00f3n inicial al ser iterada puede tener grandes consecuencias en los resultados.<\/p>\n\n\n\n

Aunque Lorenz no invent\u00f3 la teor\u00eda del caos, su trabajo populariz\u00f3 el concepto y lo introdujo en la comunidad cient\u00edfica. Su descubrimiento y la visualizaci\u00f3n del comportamiento ca\u00f3tico ayudaron a que el concepto de caos y la idea de que los sistemas deterministas pueden ser impredecibles fueran aceptados y comprendidos m\u00e1s ampliamente.<\/p>\n\n\n\n

El trabajo de Lorenz tuvo un profundo impacto no solo en la meteorolog\u00eda, donde mostr\u00f3 por primera vez las limitaciones de las predicciones a largo plazo debido al caos, sino tambi\u00e9n en campos como la f\u00edsica, la biolog\u00eda y la econom\u00eda. Su descubrimiento sent\u00f3 las bases para el estudio de la din\u00e1mica de sistemas complejos en una amplia variedad de disciplinas.
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El Modelo de Lorenz:<\/strong> <\/em><\/h3>\n\n\n\n

Lorenz desarroll\u00f3 un modelo simplificado de la circulaci\u00f3n atmosf\u00e9rica, conocido como el modelo de Lorenz, que se basa en un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales. Este modelo, que incluye solo tres ecuaciones, se convirti\u00f3 en uno de los ejemplos m\u00e1s ic\u00f3nicos de sistemas ca\u00f3ticos. Las trayectorias de las soluciones en este modelo forman lo que se llama un “atractor extra\u00f1o”, una caracter\u00edstica central de los sistemas ca\u00f3ticos.<\/p>\n\n\n\n

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Los valores  \u03c3 =10, \u03b2=8\/3 y \u03c1=28 Valores asignados por Lorenz cobran gran relevancia de los movimientos atmosf\u00e9ricos.<\/p>\n\n\n\n

El matem\u00e1tico Varona (2017)  realiz\u00f3 un modelo simplificado en donde se pudo evidenciar que si se evolucionan las componentes x(t), y(t) y z(t) las soluci\u00f3n tiene un comportamiento dictado por el \u201cazar\u201d.<\/p>\n\n\n\n

Con los mismos par\u00e1metros \u03c3, \u03b2 y \u03c1 que us\u00f3 Lorenz, y partiendo de las condiciones iniciales x(0)=y(0)=z(0)=1, mostramos la trayectoria en el espacio que describe la curva (x(t),y(t),z(t))  cuando t var\u00eda entre 1 y  30<\/p>\n\n\n\n

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Cabe aclarar que el resultado del atractor de Lorenz tenga una forma similar al de las alas de una mariposa es mera coincidencia.<\/p>\n\n\n\n

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