{"id":33718,"date":"2023-02-28T22:23:54","date_gmt":"2023-03-01T03:23:54","guid":{"rendered":"https:\/\/niixer.com\/?p=33718"},"modified":"2023-03-09T23:32:20","modified_gmt":"2023-03-10T04:32:20","slug":"teoria-de-las-graficas-o-grafos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/niixer.com\/index.php\/2023\/02\/28\/teoria-de-las-graficas-o-grafos\/","title":{"rendered":"Teor\u00eda de las graficas"},"content":{"rendered":"\n
\"Ejemplo<\/a><\/figure>\n\n\n\n

En matem\u00e1ticas e inform\u00e1tica, la teor\u00eda de grafos estudia las propiedades de los gr\u00e1ficos, que son conjuntos<\/a> de objetos no vac\u00edos llamados v\u00e9rtices o nodos y conjuntos de v\u00e9rtices llamados aristas<\/a>. Puede o no instruir en ingl\u00e9s. Suele estar representado por una serie de puntos (v\u00e9rtices) conectados por l\u00edneas (aristas).<\/p>\n\n\n\n

V\u00e9rtices, Grafos y Subgrafos como definiciones: <\/h3>\n\n\n\n

Los v\u00e9rtices forman uno de los dos elementos que componen un gr\u00e1fico. La teor\u00eda de grafos, como todas las dem\u00e1s ramas de las matem\u00e1ticas, no est\u00e1 interesada en saber qu\u00e9 es un v\u00e9rtice. Varias situaciones en las que se pueden identificar objetos y relaciones que cumplen con la definici\u00f3n de un gr\u00e1fico se pueden ver como gr\u00e1ficos para que se les pueda aplicar la teor\u00eda de gr\u00e1ficos. <\/p>\n\n\n\n

Un grafo es una pareja de conjuntos G= (V,A), donde V\u00a0es el conjunto de v\u00e9rtices, y A es el conjunto de aristas, este \u00faltimo es un conjunto de pares de la forma (u,v)\u00a0tal que u,v \u2208<\/strong> V. En la teor\u00eda de grafos, s\u00f3lo queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas no es relevante, s\u00f3lo importa a qu\u00e9 v\u00e9rtices est\u00e1n unidas. Adem\u00e1s, la ubicaci\u00f3n de los puntos de control no importa y se puede cambiar para que el dibujo sea m\u00e1s claro. <\/p>\n\n\n\n

Muchas redes cotidianas se pueden modelar gr\u00e1ficamente: la red de carreteras que conectan las ciudades, la red el\u00e9ctrica o la red de alcantarillado de la ciudad. Un subgrafo de un grafo G es un grafo cuyos conjuntos de v\u00e9rtices y aristas son subconjuntos de los de G. Se dice que un grafo G contiene a otro grafo H si alg\u00fan subgrafo de G es H o es isomorfo a H (dependiendo de las necesidades de la situaci\u00f3n), El subgrafo inducido de G es un subgrafo G’ de G tal que contiene todas las aristas adyacentes al subconjunto de v\u00e9rtices de G. <\/p>\n\n\n\n

Di\u00e1metro:<\/h3>\n\n\n\n

En un gr\u00e1fico, la distancia entre dos v\u00e9rtices es el n\u00famero m\u00ednimo de aristas en el camino entre ellos. En tablas y gr\u00e1ficos, el di\u00e1metro es la mayor distancia entre dos puntos de igual valor.<\/p>\n\n\n\n

Histori<\/strong>a:<\/h3>\n\n\n\n
\"Imagen<\/figure>\n\n\n\n

La historia de la teor\u00eda de grafos comienza con el famoso problema matem\u00e1tico de 1736, Seven Bridges in Russia’s K\u00f6nigsberg Land (ahora Kaliningrado). Leonhard Euler<\/a> resolvi\u00f3 este problema encontrando un camino a trav\u00e9s de los siete puentes del r\u00edo Pregel de tal manera que todos los puentes est\u00e9n cubiertos y cada puente se cruce solo una vez. Posteriormente, el 17 de agosto, el f\u00edsico alem\u00e1n Gustav Kirchhoff<\/a> aplic\u00f3 la teor\u00eda de grafos al an\u00e1lisis de redes el\u00e9ctricas, public\u00f3 sus leyes de circuitos y calcul\u00f3 el voltaje y la corriente en un circuito, denominada ley de Kirchhoff<\/a>, la cual se considera el primer problema t\u00e9cnico que se aplic\u00f3 la teor\u00eda de grafos. <\/p>\n\n\n\n

\"Representaci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n

El problema de los cuatro colores:<\/h3>\n\n\n\n

Luego, el 17 de octubre de 1852, apareci\u00f3 el llamado problema de los cuatro colores<\/a>, relacionado con la observaci\u00f3n del matem\u00e1tico de plantas Francis Guthrie de que los mapas geogr\u00e1ficos solo se pod\u00edan dibujar con cuatro colores, por lo que los pa\u00edses nunca se pintar\u00edan de un solo color. En agosto de 1857, el matem\u00e1tico ingl\u00e9s Arthur Cayley investig\u00f3 y resolvi\u00f3 el problema de enumeraci\u00f3n al representar cada compuesto qu\u00edmico como un gr\u00e1fico, un \u00e1rbol con v\u00e9rtices que representan \u00e1tomos y bordes que representan la presencia de enlaces qu\u00edmicos. <\/p>\n\n\n\n

En agosto de 1859, el Sr. William Hamilton doce pent\u00e1gonos (dodec\u00e1gono) para marcar los nombres de ciudades famosas en veinte nudos, por lo que se cre\u00f3 el juego “La vuelta al mundo”. El juego consiste en encontrar un camino que cruce los v\u00e9rtices exactamente una vez, una l\u00ednea que los atraviese. En 1936 se public\u00f3 el primer libro sobre teor\u00eda de grafos, escrito por el matem\u00e1tico h\u00fangaro-jud\u00edo D\u0115NES K\u00d6NIG. Se puede decir que este libro es el comienzo de la teor\u00eda de grafos moderna. En 1977, los matem\u00e1ticos Kenneth Apel y Wolfgang Hacken encontraron una forma de resolver este problema, y \u200b\u200bun siglo despu\u00e9s puede considerarse el nacimiento de la teor\u00eda de grafos. Para aclarar esto, los matem\u00e1ticos han definido los t\u00e9rminos y conceptos b\u00e1sicos de la teor\u00eda de grafos.<\/p>\n\n\n\n

Estructuras de Datos en la Representaci\u00f3n de Grafos:<\/h3>\n\n\n\n

Hay varias formas de guardar gr\u00e1ficos en su computadora<\/a>. La estructura de datos utilizada depende de las caracter\u00edsticas del gr\u00e1fico y de los algoritmos<\/a> utilizados para procesarlo. Las estructuras m\u00e1s simples y m\u00e1s utilizadas son las listas y las matrices, aunque a menudo se utilizan combinaciones de las dos. Las listas se prefieren en gr\u00e1ficos dispersos porque son eficientes en memoria. Por otro lado, las matrices brindan un acceso r\u00e1pido, pero usan mucha memoria.<\/p>\n\n\n\n

Estructura de Lista:<\/h3>\n\n\n\n

\u2022 lista de incidencia: <\/strong>Las aristas son representadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de las aristas.<\/p>\n\n\n\n

 <\/strong>\u2022 lista de adyacencia: <\/strong>Cada v\u00e9rtice tiene una lista de v\u00e9rtices los cuales son adyacentes a \u00e9l. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las b\u00fasquedas son m\u00e1s r\u00e1pidas, al costo de almacenamiento extra.<\/p>\n\n\n\n

En esta estructura de datos la idea es asociar a cada v\u00e9rtice i del grafo una lista que contenga todos aquellos v\u00e9rtices j que sean adyacentes a \u00e9l. De esta forma s\u00f3lo reservar\u00e1 memoria para los arcos adyacentes a i y no para todos los posibles arcos que pudieran tener como origen i. El grafo, por tanto, se representa por medio de un vector de n componentes (si |V|=n) donde cada componente va a ser una lista de adyacencia correspondiente a cada uno de los v\u00e9rtices del grafo. Cada elemento de la lista consta de un campo indicando el v\u00e9rtice adyacente. En caso de que el grafo sea etiquetado, habr\u00e1 que a\u00f1adir un segundo campo para mostrar el valor de la etiqueta.<\/p>\n\n\n\n

Estructuras matriciales:<\/h3>\n\n\n\n

\u2022 Matriz de incidencia:<\/strong> El grafo est\u00e1 representado por una matriz de A (aristas) por V (v\u00e9rtices), donde [arista, v\u00e9rtice] contiene la informaci\u00f3n de la arista (1 – conectado, 0 – no conectado)<\/p>\n\n\n\n

\u00a0\u2022 Matriz de adyacencia: \u00a0El grafo est\u00e1 representado por una matriz cuadrada M de tama\u00f1o n2<\/sup>, donde n es el n\u00famero de v\u00e9rtices. Si hay una arista entre un v\u00e9rtice x y un v\u00e9rtice y, entonces el elemento mxy <\/sub>es 1, de lo contrario, es 0.<\/p>\n\n\n\n

Aristas dirigidas y no dirigidas<\/h3>\n\n\n\n
\"Comparaci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n

\u00a0En algunos casos es necesario asignar un sentido a las aristas, por ejemplo, si se quiere representar la red de las calles de una ciudad con sus direcciones \u00fanicas. El conjunto de aristas ser\u00e1 ahora un subconjunto de todos los posibles pares ordenados de v\u00e9rtices, con (a, b) \u2260 (b, a). Los grafos que contienen aristas dirigidas se denominan grafos orientados o dirigidos. Las aristas no orientadas se consideran bidireccionales para efectos pr\u00e1cticos (equivale a decir que existen dos aristas orientadas entre los nodos, cada una en un sentido).<\/p>\n\n\n\n

Caracterizaci\u00f3n de Grafos:<\/h3>\n\n\n\n

Grafos simples: <\/strong><\/h3>\n\n\n\n

Un grafo es simple si a lo m\u00e1s existe una arista uniendo dos v\u00e9rtices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la \u00fanica que une dos v\u00e9rtices espec\u00edficos. Un grafo que no es simple se denomina mult\u00edgrafo.<\/p>\n\n\n\n

Grafos conexos:<\/strong> <\/h3>\n\n\n\n

Un grafo es conexo (figura de la izquierda) si cada par de v\u00e9rtices est\u00e1 conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de v\u00e9rtices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b. Un grafo es doblemente conexo si cada par de v\u00e9rtices est\u00e1 conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un v\u00e9rtice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo o no conexo (figura de la derecha).<\/p>\n\n\n\n

\"Comparaci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n

En t\u00e9rminos matem\u00e1ticos la propiedad de un grafo de ser conexo permite establecer con base en \u00e9l una relaci\u00f3n de equivalencia para sus v\u00e9rtices, la cual lleva a una partici\u00f3n de \u00e9stos en “componentes conexas”, es decir, porciones del grafo, que son conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta propiedad es importante para muchas demostraciones en teor\u00eda de grafos.<\/p>\n\n\n\n

Grafos completos: <\/strong><\/h3>\n\n\n\n

Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de v\u00e9rtices. Es decir, todo par de v\u00e9rtices (a, b) debe tener una arista e que los une. El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente K, siendo Kn<\/sub>\u00a0el grafo completo de n v\u00e9rtices. Un Kn<\/sub>, es decir, grafo completo de v\u00e9rtices tiene exactamente n(n-1)\/2 aristas. La representaci\u00f3n gr\u00e1fica de los Kn<\/sub>\u00a0como los v\u00e9rtices de un pol\u00edgono regular da cuenta de su peculiar estructura.<\/p>\n\n\n\n

Grafos bipartitos: <\/h3>\n\n\n\n

Un grafo G es bipartito si puede expresarse como G=(V1 U V2, A)\u00a0es decir, sus v\u00e9rtices son la uni\u00f3n de dos grupos de v\u00e9rtices, bajo las siguientes condiciones:<\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. V1 y V2 son disjuntos y no vac\u00edos.<\/li>\n\n\n\n
  2. Cada arista de A une un v\u00e9rtice de V1 con uno de V2 .<\/li>\n\n\n\n
  3. No existen aristas uniendo dos elementos de V1 ; an\u00e1logamente para V2 .<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de elementos diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y puzzles en los que debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de la columna B.<\/p>\n\n\n\n

    Videos complementarios:<\/h3>\n\n\n\n

    Profe Christian Staple (11 de octubre de 2021) Grafos completo . YouTube https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ElRsxnYpWaQ<\/a><\/p>\n\n\n\n

    Cr\u00e9ditos:<\/h3>\n\n\n\n

    Autor: Dikson Javier Castillo Trivi\u00f1o<\/a><\/p>\n\n\n\n

    Editor: Master Carlos Iv\u00e1n Pinz\u00f3n Romero<\/a> <\/p>\n\n\n\n

    C\u00f3digo: UCPSG7-1<\/a><\/p>\n\n\n\n

    Universidad: Universidad Central<\/a><\/p>\n\n\n\n

    Fuentes:<\/h3>\n\n\n\n
    Profe Christian Staple (11 de octubre de 2021) Grafos completo . YouTube https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ElRsxnYpWaQ\nParaDoppler (26 de mayo de 2021) El maravilloso mundo de la Teor\u00eda de Grafos . YouTube.  https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=mZMJJV6jDec\nPedro Alexis () Historia De La Teoria De Los Grafos. TimeToast. https:\/\/www.timetoast.com\/timelines\/historia-de-la-teoria-de-los-grafos\nTeor\u00eda de grafos. (15 de febrero de 2023). En Wikipedia. https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Teor%C3%ADa_de_grafos\nhttp:\/\/ebadillo_computacion.tripod.com\/teoria_de_graficas.pdf\nTeor\u00eda de grafos. En Libroz.com. https:\/\/www.unipamplona.edu.co\/unipamplona\/portalIG\/home_23\/recursos\/general\/11072012\/grafo3.pdf\nTeor\u00eda de grafos. (15 de febrero de 2023). En Wikipedia.  https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/6\/65\/Connexe_et_pas_connexe.svg\/400px-Connexe_et_pas_connexe.svg.png\nBlanca Nayelly Del Castillo Velasco Mart\u00ednez (08 de diciembre de 2016). El problema de los cuatro colores. revistac2. https:\/\/www.revistac2.com\/el-problema-de-los-cuatro-colores\/\nRevistac2. (2016). World Map [imagen]. https:\/\/www.revistac2.com\/c2\/wp-content\/uploads\/2016\/12\/world_map.png\neralvana. (2020). Teoria de graficas [imagen]. https:\/\/www.google.com\/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Feralvana.github.io%2FCursosUNAM%2F2020-2%2Ftg%2Fimg-video%2FPetersen-complement.png&imgrefurl=https%3A%2F%2Feralvana.github.io%2FCursosUNAM%2F2020-2%2Ftg%2Findex.html&tbnid=ghwKsCVwNSOZ_M&vet=12ahUKEwjrvb6FiND9AhVJcjABHZ7tAQ4QMygAegUIARCNAQ..i&docid=k0D5gJxTpKBTMM&w=450&h=220&q=teor%C3%ADa%20de%20las%20gr%C3%A1ficas%20&ved=2ahUKEwjrvb6FiND9AhVJcjABHZ7tAQ4QMygAegUIARCNAQ\r\n \r\n\n\n\n<\/pre>\n\n\n\n
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