{"id":2806,"date":"2020-11-10T21:07:27","date_gmt":"2020-11-11T02:07:27","guid":{"rendered":"https:\/\/niixer.com\/?p=2806"},"modified":"2020-11-10T21:15:31","modified_gmt":"2020-11-11T02:15:31","slug":"rotaciones-angulos-de-euler-y-cuaterniones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/niixer.com\/index.php\/2020\/11\/10\/rotaciones-angulos-de-euler-y-cuaterniones\/","title":{"rendered":"Rotaci\u00f3n: \u00c1ngulos de Euler y Cuaterniones"},"content":{"rendered":"\n

En diferentes campos de la tecnolog\u00eda es necesario realizar rotaci\u00f3n de im\u00e1genes. Desde el desarrollo de videojuegos<\/a> hasta el lanzamiento de sat\u00e9lites al espacio requieren la comprensi\u00f3n del concepto de rotaci\u00f3n. En este art\u00edculo se abordar\u00e1 la rotaci\u00f3n usando los \u00e1ngulos de Euler, qu\u00e9 limitaciones tiene esta t\u00e9cnica y c\u00f3mo los cuaterniones son la elecci\u00f3n de preferencia para la implementaci\u00f3n de algoritmos de computaci\u00f3n que calculen rotaciones.<\/p>\n\n\n\n

Rotaci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n

La rotaci\u00f3n es un concepto matem\u00e1tico que viene de la geometr\u00eda. Todo movimiento definido en un plano (2D) o un espacio (3D) que conserva al menos un punto en la posici\u00f3n original, es una rotaci\u00f3n. La rotaci\u00f3n tambi\u00e9n se puede considerar para espacios n-dimensionales.<\/p>\n\n\n\n

Matriz de Rotaci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n

Una matriz de rotaci\u00f3n es aquella que representa una rotaci\u00f3n en el espacio eucl\u00eddeo. Este concepto proviene del \u00e1lgebra lineal.<\/p>\n\n\n\n

\"Rotaci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n

La matriz R representa la rotaci\u00f3n de \u03b8 grados. En la gr\u00e1fica anterior vemos como el tri\u00e1ngulo ABC rota 90\u00b0 sobre A, transform\u00e1ndolo en el tri\u00e1ngulo en A’B’C’.<\/p>\n\n\n\n

\u00c1ngulos de Euler<\/h3>\n\n\n\n

Los \u00e1ngulos de Euler son un conjunto de tres coordenadas que indican la orientaci\u00f3n de un sistema de referencia con respecto a otro sistema de referencia en el cual uno de ellos es fijo y el otro el m\u00f3vil.<\/p>\n\n\n\n

\"Matrices<\/figure>\n\n\n\n

En un sistema ortonormal XYZ se define una matriz de rotaci\u00f3n por cada uno de los ejes. Como se puede observar se tienen tres \u00e1ngulos que indican la rotaci\u00f3n para cada eje.<\/p>\n\n\n\n

\"Rotaci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n

En el ejemplo anterior se est\u00e1 haciendo una rotaci\u00f3n del cubo sobre los diferentes ejes, 45\u00b0, 15\u00b0 y 30\u00b0 respectivamente. <\/p>\n\n\n\n

Bloqueo del card\u00e1n – Gimbal lock<\/h3>\n\n\n\n

El bloqueo del card\u00e1n se presenta cuando se pierde un grado de libertad debido a la alineaci\u00f3n de dos ejes, generando as\u00ed un bloqueo en uno de los ejes. Por ejemplo, al rotar el cubo en el eje Y 90\u00b0, se pierde libertad para girar sobre el eje X ya que al tratar de rotar sobre X se observa que la figura rota sobre el eje Z.<\/p>\n\n\n\n

Rotaci\u00f3n con Cuaterniones<\/h3>\n\n\n\n

Un cuaterni\u00f3n es una extensi\u00f3n de los n\u00fameros reales de la forma q = w + xi<\/strong> + yj<\/strong> + zk<\/strong><\/em> siendo w, x, y, z<\/em> n\u00fameros reales y i, j, k<\/strong><\/em> n\u00fameros imaginarios que cumplen la siguiente condici\u00f3n i2<\/sup> = j2<\/sup> = k2<\/sup> = ijk = -1<\/strong><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

A trav\u00e9s de la multiplicaci\u00f3n de n\u00fameros complejos se pueden hacer rotaciones en el plano 2D usando la f\u00f3rmula de Euler para involucrar el \u00e1ngulo. As\u00ed mismo la multiplicaci\u00f3n de cuaterniones permite hacer rotaciones en el plano 3D.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Para rotar \u019f grados alrededor de un eje se multiplica por el cuaterni\u00f3n qr<\/sub><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Para profundizar sobre el tema se recomienda ver el siguiente video.<\/p>\n\n\n\n

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